Ο Ιωακείμ Καβύρης γεννήθηκε το 1880 στη Σηλύβρια της Ανατολικής Θράκης. Σπούδασε Θεολογία στη Θεολογική Σχολή Αθηνών. Στις 28 Οκτωβρίου 1917 εξελέγη Τιτουλάριος Επίσκοπος Αμφιπόλεως του Οικουμενικού Πατριαρχείου Κωνσταντινουπόλεως και η χειροτονία του τελέστηκε την 5 Νοεμβρίου 1917. Στις 24 Φεβρουαρίου 1922 εξελέγη Μητροπολίτης Ίμβρου και Τενέδου ενώ στις 9 Οκτωβρίου 1924 εξελέγη Μητροπολίτης Ικαρίας. Στις 20 Νοεμβρίου 1926 Μητροπολίτης της νεοσύστατης Μητροπόλεως Σουφλίου. Μετά από 8 έτη στις 5 Ιουνίου 1934 εξελέγη Μητροπολίτης Αλεξανδρουπόλεως.
Στις 24 Ιανουαρίου 1966 απεχώρησε της ενεργού υπηρεσίας λόγω ηλικίας. Εκοιμήθη στην Αθήνα στις 19 Φεβρουαρίου 1974. Η νεκρώσιμος ακολουθία του εψάλη στο Μητροπολιτικό Ναό του Αγίου Νικολάου Αλεξανδρουπόλεως στις 21 Φεβρουαρίου. Ενταφιάστηκε στην Αλεξανδρούπολη στον αύλειο χώρο του Ιωακείμειου Γηροκομείου, δίπλα στο Ναό των Αγίων Αναργύρων.
Επί Αρχιερατείας Ιωακείμ Καβύρη χτίστηκαν στην Αλεξανδρούπολη οι Ιεροί Ναοί του Αγίου Ελευθερίου και της Αγίας Κυριακής, την οποία εγκαινίασε το 1972, έπειτα από πρόσκληση που του απηύθυνε ο τότε Μητροπολίτης Αλεξανδρουπόλεως κυρός Κωνστάντιος Χρόνης.
Επίσης, επί ημερών του ανεγέρθηκε ο Ιερός Ναός της Αγίας Μαρίνας στην Μαΐστρο, όπως επίσης και άλλοι Ναοί σε αρκετά χωριά της Μητροπόλεώς μας.
Το τρισάγιο στο μακαριστό Μητροπολίτη τέλεσε ο Πρωτοσύγκελλος της Μητροπόλεώς μας πανοσ. Αρχιμ. π. Ειρηναίος Λαφτσής, ο οποίος μίλησε "για έναν άνθρωπο, ο οποίος για περισσότερο από τρεις δεκαετίες πρόσφερε τα μέγιστα ως Μητροπολίτης στην τοπική Εκκλησία μας με ουσιαστική και ξεχωριστή συμβολή στο φιλανθρωπικό τομέα".
Στο Τρισάγιο παραβρέθηκαν ιερείς της Μητροπόλεως, η διοίκηση και τα μέλη του προσωπικού καθώς και τρόφιμοι του Ιωακειμείου Γηροκομείου.
